Thống kê khỏa thân là cuốn sách thú vị nhất về khoa học nhàm chán nhất

2024 Tác giả: Malcolm Clapton | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2023-12-17 04:15

Ai nói thống kê là một khoa học buồn tẻ và vô dụng? Charles Wheelan lập luận một cách thuyết phục rằng điều này khác xa với trường hợp này. Hôm nay chúng tôi xuất bản một đoạn trích từ cuốn sách của anh ấy về cách thắng một chiếc ô tô chứ không phải một con dê, sử dụng số liệu thống kê, và hiểu rằng trực giác có thể đánh lừa bạn.

Câu đố Monty Hall

Bí ẩn Sảnh Monty là một bài toán nổi tiếng trong lý thuyết xác suất gây khó khăn cho những người tham gia một trò chơi có tên Let’s Make a Deal, vẫn còn phổ biến ở một số quốc gia, công chiếu tại Hoa Kỳ vào năm 1963. (Tôi nhớ mỗi lần tôi xem chương trình này khi còn nhỏ, khi tôi không đến trường vì bị ốm.) Trong phần giới thiệu cuốn sách, tôi đã chỉ ra rằng trò chơi này có thể thú vị đối với các nhà thống kê. Vào cuối mỗi vấn đề của nó, người tham gia vào vòng chung kết đứng với Monty Hall trước ba cánh cửa lớn: Cửa số 1, Cửa số 2 và Cửa số 3. Monty Hall giải thích cho người vào chung kết rằng đằng sau một trong số những cánh cửa này là một giải thưởng rất có giá trị - ví dụ như một chiếc ô tô mới và một con dê phía sau hai cánh cửa kia. Người vào chung kết phải chọn một trong những cánh cửa và lấy những gì đằng sau nó. (Tôi không biết liệu có ít nhất một người trong số những người tham gia chương trình muốn có một con dê hay không, nhưng vì đơn giản, chúng tôi sẽ cho rằng đại đa số những người tham gia đều mơ về một chiếc ô tô mới.)

Xác suất chiến thắng ban đầu khá dễ xác định. Có ba cửa, hai cửa nuôi dê, và cửa thứ ba che ô tô. Khi một người tham gia chương trình đứng trước những cánh cửa này với Monty Hall, anh ta có một trong ba cơ hội để chọn cánh cửa phía sau nơi đặt chiếc xe. Tuy nhiên, như đã lưu ý ở trên, có một điểm nổi bật trong Let’s Make a Deal đã biến chương trình truyền hình này trở thành bất tử và người trình bày chương trình này trong tài liệu về lý thuyết xác suất. Sau khi người vào chung kết của chương trình chỉ vào một trong ba cánh cửa, Monty Hall mở một trong hai cánh cửa còn lại, phía sau luôn có một con dê. Sau đó, Monty Hall hỏi người vào chung kết nếu anh ta muốn thay đổi ý định của mình, tức là từ bỏ cánh cửa đã đóng đã chọn trước đó để chuyển sang một cánh cửa đã đóng khác.

Ví dụ, giả sử rằng người tham gia đã chỉ vào Cửa số 1. Sau đó, Monty Hall mở Cửa số 3, đằng sau đó là con dê đang ẩn nấp. Hai cửa, Cửa số 1 và Cửa số 2, vẫn đóng. Nếu giải thưởng giá trị đứng sau Cửa số 1, người vào chung kết đã giành được nó, còn nếu xếp sau Cửa số 2, thì người đó đã thua. Tại thời điểm này, Monty Hall hỏi người chơi liệu anh ta có muốn thay đổi lựa chọn ban đầu của mình hay không (trong trường hợp này, bỏ Cửa số 1 để chuyển sang Cửa số 2). Tất nhiên, bạn sẽ nhớ rằng cả hai cánh cửa vẫn đang đóng. Thông tin mới duy nhất mà người tham gia nhận được là con dê đã kết thúc ở phía sau một trong hai cánh cửa mà anh ta không chọn.

Liệu người vào chung kết có nên từ bỏ lựa chọn ban đầu để nghiêng về Cửa số 2?

Tôi trả lời: có, nó nên. Nếu anh ta vẫn giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu, thì xác suất để giành được một giải thưởng có giá trị sẽ là ⅓; nếu anh ta đổi ý và chỉ vào Cửa số 2, thì xác suất để giành được một giải thưởng có giá trị sẽ là ⅔. Nếu bạn không tin tôi, hãy đọc tiếp.

Tôi thừa nhận rằng câu trả lời này là không rõ ràng ngay từ cái nhìn đầu tiên. Có vẻ như người vào chung kết chọn cửa nào trong hai cửa còn lại thì xác suất nhận được giải thưởng giá trị trong cả hai trường hợp là ⅓. Có ba cánh cửa đóng lại. Lúc đầu, xác suất để một giải thưởng có giá trị ẩn sau bất kỳ giải thưởng nào trong số chúng là ⅓. Liệu quyết định của thí sinh cuối cùng thay đổi lựa chọn của mình để ủng hộ một cánh cửa đóng khác có tạo ra sự khác biệt nào không?

Tất nhiên, vì bắt được là Monty Hall biết những gì đằng sau mỗi cánh cửa. Nếu người lọt vào chung kết chọn Cửa số 1 và thực sự có một chiếc ô tô phía sau nó, Monty Hall có thể mở Cửa số 2 hoặc Cửa số 3 để phát hiện ra con dê ẩn nấp phía sau nó.

Nếu người lọt vào chung kết chọn Cửa 1 và xe đứng sau Cửa 2, thì Sảnh Monty sẽ mở Cửa 3.

Nếu người vào chung kết chỉ vào Cửa 1 và chiếc xe ở sau Cửa 3, thì Sảnh Monty sẽ mở Cửa 2.

Bằng cách thay đổi quyết định sau khi người thuyết trình mở một trong các cánh cửa, người vào chung kết giành được lợi thế khi chọn hai cánh cửa thay vì một cánh cửa. Tôi sẽ cố gắng thuyết phục bạn về tính đúng đắn của phân tích này theo ba cách khác nhau.

Đầu tiên là theo kinh nghiệm. Năm 2008, John Tyerney, nhà báo chuyên mục của New York Times đã viết về Hiện tượng Monty Hall. Sau đó, nhân viên của ấn phẩm đã phát triển một chương trình tương tác cho phép bạn chơi trò chơi này và độc lập quyết định có thay đổi lựa chọn ban đầu của mình hay không. (Chương trình thậm chí còn cung cấp những chú dê nhỏ và những chiếc xe hơi nhỏ xuất hiện từ phía sau cánh cửa.) Chương trình ghi lại số tiền thắng cược của bạn trong trường hợp bạn thay đổi lựa chọn ban đầu và trong trường hợp bạn vẫn không bị thuyết phục. Tôi đã trả tiền cho một trong những con gái của mình để chơi trò chơi này 100 lần, mỗi lần thay đổi lựa chọn ban đầu của nó. Tôi cũng đã trả tiền cho anh trai của cô ấy để chơi trò chơi 100 lần, mỗi lần vẫn giữ nguyên quyết định ban đầu. Con gái thắng 72 lần; anh trai cô 33 lần. Mỗi nỗ lực được thưởng hai đô la.

Bằng chứng từ các tập của trò chơi Let’s Make a Deal cho thấy cùng một mô hình. Theo Leonard Mlodinov, tác giả của The Drunkard's Walk, những người vào chung kết thay đổi lựa chọn ban đầu có khả năng chiến thắng cao gấp đôi so với những người không bị thuyết phục.

Lời giải thích thứ hai của tôi cho hiện tượng này là dựa trên trực giác. Giả sử các quy tắc của trò chơi đã thay đổi một chút. Ví dụ, người vào chung kết bắt đầu bằng cách chọn một trong ba cửa: Cửa số 1, Cửa số 2 và Cửa số 3, như kế hoạch ban đầu. Tuy nhiên, trước khi mở bất kỳ cánh cửa nào mà con dê đang ẩn nấp, Monty Hall hỏi: "Bạn có đồng ý từ bỏ sự lựa chọn của mình để đổi lấy việc mở hai cánh cửa còn lại không?" Vì vậy, nếu bạn đã chọn Cửa số 1, bạn có thể đổi ý theo Cửa số 2 và Cửa số 3. Nếu bạn đã chọn Cửa số 3 trước, bạn có thể chọn Cửa số 1 và Cửa số 2. Và cứ tiếp tục như vậy.

Đây sẽ không phải là một quyết định đặc biệt khó khăn đối với bạn: rõ ràng là bạn nên từ bỏ lựa chọn ban đầu để nghiêng về hai cửa còn lại, vì điều này làm tăng cơ hội chiến thắng từ ⅓ thành ⅔. Điều thú vị nhất là về bản chất, Monty Hall cung cấp cho bạn một trò chơi thực sự, sau khi mở cánh cửa phía sau mà con dê đang ẩn nấp. Sự thật cơ bản là nếu bạn có cơ hội chọn hai cánh cửa, thì dù sao đi nữa, một con dê sẽ bị ẩn sau một trong số chúng. Khi Monty Hall mở cánh cửa đằng sau con dê và chỉ sau đó hỏi bạn xem bạn có đồng ý thay đổi lựa chọn ban đầu của mình hay không, điều đó sẽ làm tăng đáng kể cơ hội giành được giải thưởng giá trị của bạn! Về cơ bản, Monty Hall đang nói với bạn, "Cơ hội nhận được giải thưởng giá trị ẩn sau một trong hai cánh cửa mà bạn không chọn lần đầu là ⅔, vẫn nhiều hơn ⅓!"

Bạn có thể hình dung nó như thế này. Giả sử bạn đã chỉ vào Cửa số 1. Sau đó, Monty Hall cho bạn cơ hội từ bỏ quyết định ban đầu để ủng hộ Cửa số 2 và Cửa số 3. Bạn đồng ý và bạn có hai cửa theo ý mình, có nghĩa là bạn có mọi lý do đều mong muốn giành được giải thưởng có giá trị với xác suất là ⅔, không phải ⅓. Điều gì sẽ xảy ra nếu ngay lúc này Monty Hall đã mở Cánh cửa số 3 - một trong những cánh cửa "của bạn" - và có một con dê đằng sau nó? Sự thật này có làm lung lay niềm tin của bạn vào quyết định của mình không? Dĩ nhiên là không. Nếu chiếc xe trốn sau Cửa số 3, Monty Hall sẽ mở Cửa số 2! Anh ấy sẽ không cho bạn thấy bất cứ điều gì.

Khi trò chơi được chơi theo kịch bản loại trực tiếp, Monty Hall thực sự cho bạn lựa chọn giữa cánh cửa mà bạn đã chỉ định lúc đầu và hai cánh cửa còn lại, một trong số đó có thể là ô tô. Khi Monty Hall mở cánh cửa phía sau mà con dê đang ẩn nấp, anh ta chỉ đơn giản là đang làm giúp bạn bằng cách chỉ cho bạn biết cánh cửa nào trong hai cánh cửa còn lại không phải là ô tô. Bạn có cùng xác suất chiến thắng trong cả hai trường hợp sau.

1. Chọn Cửa số 1, sau đó đồng ý “chuyển” sang Cửa số 2 và Cửa số 3 ngay cả trước khi bất kỳ cửa nào được mở.
2. Chọn Cửa số 1, sau đó đồng ý "chuyển" sang Cửa số 2 sau khi Sảnh Monty chỉ cho bạn con dê phía sau Cửa số 3 (hoặc chọn Cửa số 3 sau khi Sảnh Monty chỉ cho bạn con dê phía sau Cửa số 2).

Trong cả hai trường hợp, từ bỏ quyết định ban đầu mang lại cho bạn lợi thế hai cửa hơn một và do đó bạn có thể tăng gấp đôi cơ hội chiến thắng của mình từ ⅓ thành ⅔.

Lựa chọn thứ ba của tôi là một phiên bản cấp tiến hơn của cùng một trực giác cơ bản. Giả sử Monty Hall yêu cầu bạn chọn một trong 100 cửa (thay vì một trong ba). Sau khi bạn làm điều này, hãy nói bằng cách chỉ vào Cửa số 47, anh ta sẽ mở 98 cửa còn lại, sẽ tiết lộ những con dê. Bây giờ chỉ còn hai cánh cửa đóng lại: Cánh cửa số 47 và một cánh cửa khác, chẳng hạn như Cánh cửa số 61. Bạn có nên từ bỏ lựa chọn ban đầu của mình không?

Tất nhiên là có! Có 99% khả năng chiếc xe đang ở sau một trong những cánh cửa mà bạn không chọn lúc đầu. Monty Hall đã làm cho bạn lịch sự bằng cách mở 98 cánh cửa trong số những cánh cửa này, không có chiếc xe nào phía sau chúng. Do đó, chỉ có 1 trong 100 cơ hội là lựa chọn ban đầu của bạn (Cửa số 47) là đúng. Đồng thời, có 99 trên 100 khả năng lựa chọn ban đầu của bạn là sai. Nếu đúng như vậy thì xe nằm sau cửa còn lại, tức là cửa số 61. Nếu bạn muốn chơi với xác suất trúng 99 lần trên 100 thì bạn nên “chuyển” sang cửa số 61.

Tóm lại, nếu bạn đã từng phải chơi Let’s Make a Deal, chắc chắn bạn sẽ cần phải xem lại quyết định ban đầu của mình khi Monty Hall (hoặc ai sẽ thay thế anh ta) cho bạn lựa chọn. Một kết luận phổ quát hơn từ ví dụ này là những phỏng đoán trực quan của bạn về khả năng xảy ra các sự kiện nhất định đôi khi có thể khiến bạn hiểu nhầm.